新余快速人才网:数学-Matrix Tree定理证明

admin 2周前 (08-01) 科技 24 1

老久没更了,冬令营也延期了(延期后岂不是志愿者得上学了?)

最近把之前欠了好久的债,诸如FFT和Matrix-Tree等的搞清楚了(啊我承认之前只会用,没有理解证明……),FFT老多人写,而MatrixTree没人证我就写一下吧……

Matrix Tree结论

Matrix Tree的结论网上可多,大概一条主要的就是,图中生成树的数量等于 \(V-E\) 的任一余子式,其中:

  • \(V\) 为对角阵,第 \(i\) 个元素为点 \(i\) 的度数
  • \(E\) 为对称阵,对角线为零且 \(E_{i,j}\) 为点 \(i\) 与点 \(j\) 之间边的数量的相反数

这个结论众人皆知,但我好像没怎么搜到证明?

图的关联矩阵

为了求无向图中有多少组 \(n-1\) 条边可以形成树,一般需要枚举所有的可能,无法在多项式内解决,但我们利用数学工具将其转换——引入关联矩阵

为了后面讨论我们给每条边随意分配一个方向。

图的邻接矩阵是一个 \(n\times n\) 的用于存储图的矩阵。而关联矩阵 \(A\) 则为 \(n\times m\) 的矩阵,其中行对应点,列对应边,如果 \(A_{i,j}\) 非零,则说明第 \(j\) 条边的起点或终点为点 \(i\)(如 \(i\) 为起点则为 \(+1\),终点则为 \(-1\),否则为 \(0\))。如下图即为一张 \(4\)\(5\) 边的图的关联矩阵:
\[ \begin{bmatrix} +1 & -1 & +1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & +1 & -1\\ 0 & +1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & +1 \end{bmatrix} \]

可以看到,如果只考虑这张图的结构的话,关联矩阵的行之间或列之间随意交换都是无所谓的(行交换代表点重新编号……)

我们可以证明一个结论,任意连通图的关联矩阵秩为 \(n-1\)

有两种理解方式:

  • 按行来看:
    • 首先去掉任意一行都是可以复原的:因为每一列都是一个 \(+1\) 一个 \(-1\),可以轻松由其他 \(n-1\) 行得到这一行。故去掉任意一行不会丢失信息,秩 \(\le n-1\)
    • 其次去掉任意两行都是无法复原的:因为任意去掉两行 \(x,y\),在这张连通图上找到一条 \(x\)\(y\) 的路径,取其中 \(x\to y\) 方向第一条边 \(a\)\(y\to x\) 方向第一条边 \(b\),则在还原关联矩阵时无法确定非零位置是 \((x,a)\&(y,b)\) 还是 \((x,b)\&(y,a)\)。故去掉任意两行都会丢失信息,秩 \(\ge n-1\)
  • 再按列来看更为显然:
    • 由于列对应边,故选取若干列,若这些列对应的边在图上组成了环,则一定线性相关(因为将环按一个方向捋一遍然后加起来一定为零)
    • 故要求“最多的线性无关的列”,也即求“在不出现环的前提下最多能找出多少边”,答案显然为 \(n-1\)

这下从行列两个方向证明了这个结论,但有何用处呢?

我们刚在从列的方向证明结论时用到了“生成树”的概念,仔细考虑一下,求“图中有多少种 \(n-1\) 条边的组合没有环”,等价于求“关联矩阵中有多少种 \(n-1\) 列的组合线性无关

同时我们证明了 \(n\) 个行中总有一个是多余的,故考虑删去其中一行对答案无影响。

这下将图中的问题转化为了矩阵中的问题,但是否将过程复杂化了呢?

Binet-Cauchy公式

为了解决这个问题,我们需要引入 Binet-Cauchy公式:

若存在 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\)\(m\times n\) 的矩阵 \(B\),则矩阵 \(AB\) 的行列式等于:从 \(m\) 中任意选取 \(n-1\) 个指标,并取出 \(A\) 的这 \(n\) 列得到 \(A'\),和 \(B\) 的这 \(n\) 行的得到 \(B'\),将它们行列式乘起来得到 \(\det A'\times \det B'\),对所有共 \(C_m^n\) 种选取情况求和。

数学表达:
\[ \det (AB)=\sum_{S\sube U,|S|=n}\det(A_S)\det(B_S) \]
(其中 \(U\) 表示集合 \(\{1,2,\dots,m\}\)\(A_S\) 表示取出 \(S\) 中下标的列组成的矩阵,\(B_S\) 表示取出 \(S\) 中下标的行组成的矩阵)

可以发现其中几种特殊情况:

  • \(n=1\):此时公式等价于计算两个 \(m\) 维向量的点积
  • \(n=m\):此时公式等价于表示 \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) 的行列式可乘性质
  • \(n>m\):此时公式中由于无法选出任何一组,故右边恒等于 \(0\),其表达的其实是矩阵 \(AB\) 不满秩

这个公式的证明过于繁琐,不予展开,但可以感性理解:\(AB\)\(A\) 的以 \(B\) 为系数的线性组合,将 \(AB\) 的行列式展开后分离贡献,\(\det (A_S)\) 的系数是 \(\det(B_S)\)

利用公式

为了解决这个问题引入这个公式,很明显是和其中的共同拥有的“任意选取”、“线性无关”两个因素有关。

很容易想到是想要将图的关联矩阵 \(D\)(去掉一行后)放入 \(A\)\(B\) 的位置,但具体怎么放,另一个矩阵又是什么?

引理:连通图的关联矩阵中,任意一个子矩阵的行列式都为 \(\pm 1\)\(0\)

证明:

  • 若子矩阵不可逆,则行列式自然为零
  • 若子矩阵可逆,则不可能每一列都同时存在两个非零项(否则每一列都是一个 \(+1\) 一个 \(-1\),将所有行加起来一定是 \(0\)),故按只有一个非零项的列进行行列式展开,则可以归纳至低一阶的情况

有了这个引理,可以非常自然的考虑将 \(A\) 设为 \(D\)\(B\) 设为 \(D^T\),则 \(A_S\)\(B_S\) 都是取 \(D\) 的不同列向量组成的矩阵。

由于我们证明了,列线性无关的子矩阵行列式一定为 \(\pm 1\),则平方后一定为 \(1\)。再利用上述公式,故原问题的的答案即为 \(\det (AB)\)

至于 \(AB\) 是啥?\(AB=DD^T\)

考虑下关联矩阵 \(D\) 的定义,即可发现 \((AB)_{i,j}\)

  • \(i=j\) 时:\((AB)_{i,i}\)\(D\)\(i\) 行与自己的点积,由于非零项都为 \(\pm 1\),则 \((AB)_{i,i}\) 即为第 \(i\) 行的非零项个数——即点 \(i\) 的度数
  • \(i\ne j\) 时:\((AB)_{i,j}\)\(D\)\(i\) 行与 \(j\) 的点积,由于每一列都只有两个元素(一个 \(+1\) 一个 \(-1\)),故每个位置如果有值,则一定为 \(-1\)\((AB)_{i,j}\) 即为它们求和——点 \(i\) 与点 \(j\) 之间边的数量的相反数

总结

回顾整个过程:

  • 问题一开始是“有多少种选取 \(n-1\) 条边的方式,使选出的边构成树

  • 然后引入图的关联矩阵,证明了其秩为 \(n-1\),同时也发现问题等价于“有多少种在关联矩阵中选取 \(n-1\) 列的方式,使选出的列线性无关”(同时发现删去关联矩阵任意一行对答案无影响)
  • 针对“任意选取”和“线性无关”两个特点,引入了同样拥有这两个特点的 Binet-Cauchy公式
    • 利用 Binet-Cauchy任意选取的特点,和“线性无关\(\iff\) 行列式非零”的性质,希望将关联矩阵放入公式
  • 为了将关联矩阵放入公式,证明了关联矩阵中任意一个子矩阵行列式为 \(\pm 1\)\(0\)
  • 巧妙地将 \(A\) 设为 \(D\)\(B\) 设为 \(D^T\),则得到的结果 \(\det(AB)\)
    • 等价于:任取 \(D\)\(n-1\) 列求出行列式,平方后求和。
    • 等价于:任取 \(D\)\(n-1\) 列,行列式非零的方案数
  • 考虑 \(AB=DD^T\) 的现实意义,得到开头提到的Matrix Tree定理

有向生成树的扩展

刚才讨论的都是无向生成树,可以考虑到有向生成树的情况:

  • 由于点可以重新标号,我们只考虑以 \(1\) 号点为根的情况
  • 由于内向生成树可以将边取反后求外向生成树,故只考虑外向生成树的情况

考虑外向生成树关联矩阵的特点:除了根以外每一行都只有一个 \(-1\)(树上只有一个父亲)

而若生成树不是外向生成树,则一定存在一个点 \(x\),关联矩阵中 \(x\) 对应的那一行没有 \(-1\)

所以可以考虑将原来每条边“一个 \(+1\) 一个 \(-1\)”中的 \(+1\) 置为零,则在计算时:

  • 如果这棵生成树不是外向生成树,则一定存在一行全为零,其行列式也为零
  • 如果这棵树是外向生成树,由于每一行有一个 \(-1\),故其行列式为 \((-1)^{n-1}\) 也只可能为 \(\pm 1\)
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